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中考试题精英人教版专题总复*:专题十与几何图形有关的探究题

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专题十 与几何图形有关的探究题 图形变化问题 【例 1】 (2016· 沈阳)在△ABC 中,AB=6,AC=BC=5,将△ABC 绕点 A 按顺时针 方向旋转,得到△ADE,旋转角为 α(0°<α<180°),点 B 的对应点为点 D,点 C 的对应 点为点 E,连接 BD,BE. (1)如图,当 α=60°时,延长 BE 交 AD 于点 F. ①求证:△ABD 是等边三角形; ②求证:BF⊥AD,AF=DF; ③请直接写出 BE 的长; (2)在旋转过程中,过点 D 作 DG 垂直于直线 AB,垂足为点 G,连接 CE,当∠DAG= ∠ACB,且线段 DG 与线段 AE 无公共点时,请直接写出 BE+CE 的值. 分析:(1)①由旋转性质知 AB=AD,∠BAD=60°即可得证;②由 BA=BD,EA=ED 根据垂直*分线的性质即可得证;③分别求出 BF,EF 的长即可得答案;(2)由等量代换可 证∠BAE=∠BAC,根据三线合一可得 CE⊥AB,从而可得 CE=2CH=8,BE=5,即可得 答案. 解: (1)①∵△ABC 绕点 A 顺时针方向旋转 60°得到△ADE, ∴AB=AD, ∠BAD=60°, ∴△ABD 是等边三角形 ②由①得△ABD 是等边三角形,∴AB=BD,∵△ABC 绕点 A 顺时针方向旋转 60°得 到△ADE,∴AC=AE,BC=DE,又∵AC=BC,∴EA=ED,∴点 B,E 在 AD 的垂直* 分线上,∴BE 是 AD 的垂直*分线,∵点 F 在 BE 的延长线上,∴BF⊥AD,AF=DF ③由②知 BF⊥AD,AF=DF,∴AF=DF=3,∵AE=AC=5,∴EF=4,∵在等边三 3 角形 ABD 中,BF=AB·sin∠BAF=6× =3 3,∴BE=BF-EF=3 3-4 2 (2)如图,∵∠DAG=∠ACB,∠DAE=∠BAC,∴∠ACB+∠BAC+∠ABC=∠DAG +∠DAE+∠ABC=180°,又∵∠DAG+∠DAE+∠BAE=180°,∴∠BAE=∠ABC, 1 ∵AC=BC=AE,∴∠BAC=∠ABC,∴∠BAE=∠BAC,∴AB⊥CE,且 CH=HE= CE, 2 1 ∵AC=BC,∴AH=BH= AB=3,则 CE=2CH=8,BE=AE=5,∴BE+CE=13 2 几何图形中的动点问题 【例 2】(2016· 达州)△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC,点 D 为直线 BC 上一动点(点 D 不与 B,C 重合),以 AD 为边在 AD 右侧作正方形 ADEF,连接 CF. (1)观察猜想 如图 1,当点 D 在线段 BC 上时,①BC 与 CF 的位置关系为__垂直__;②BC,CD,CF 之间的数量关系为__BC=CD+CF__; (2)数学思考 如图 2,当点 D 在线段 CB 的延长线上时,结论①,②是否仍然成立?若成立,请给予 证明;若不成立,请你写出正确结论再给予证明. (3)拓展延伸 如图 3,当点 D 在线段 BC 的延长线上时,延长 BA 交 CF 于点 G,连接 GE.若已知 AB 1 =2 2,CD= BC,请求出 GE 的长. 4 分析:(2)根据正方形的性质得到∠BAC=∠DAF=90°,推出△DAB≌△FAC,根据全 等三角形的性质以及等腰直角三角形的角的性质可得到结论;(3)过 A 作 AH⊥BC 于点 H, 过 E 作 EM⊥BD 于点 M,EN⊥CF 于点 N,先求出 AH,DH,证△ADH≌△DEM(AAS)得到 EM=DH,DM=AH,由等量代换得到 CN=EM,EN=CM,根据等腰直角三角形的性质得 到 CG=BC=4,根据勾股定理即可得到结论. 解:(2)CF⊥BC 成立;BC=CD+CF 不成立,CD=CF+BC.证明:∵正方形 ADEF, ∴AD=AF,∵∠BAC=∠DAF=90°,∴∠BAD=∠CAF,可证△DAB≌△FAC(SAS), ∴∠ABD=∠ACF, ∵∠BAC=90°, AB=AC, ∴∠ACB=∠ABC=45°.∴∠ABD=180° -45° =135° ,∴∠BCF=∠ACF-∠ACB=135°-45° =90° ,∴CF⊥BC.∵CD=DB+BC, DB=CF,∴CD=CF+BC (3)过 A 作 AH⊥BC 于点 H,过 E 作 EM⊥BD 于点 M,EN⊥CF 于点 N,∵∠BAC= 1 1 1 90°,AB=AC,∴BC= 2AB=4,AH= BC=2,∴CD= BC=1,CH= BC=2,∴DH 2 4 2 =3,由(2)证得 BC⊥CF,CF=BD=5,∵四边形 ADEF 是正方形,∴AD=DE,∠ADE= 90°,∵BC⊥CF,EM⊥BD,EN⊥CF,∴四边形 CMEN 是矩形,∴NE=CM,EM=CN, ∵∠AHD=∠ADC=∠EMD=90°,∴∠ADH+∠EDM=∠EDM+∠DEM=90°,∴∠ ADH=∠DEM,可证△ADH≌△DEM(AAS),∴EM=DH=3,DM=AH=2,∴CN=EM =3,EN=CM=3,∵∠ABC=45°,∴∠BGC=45°,∴△BCG 是等腰直角三角形,∴ CG=BC=4,∴GN=1,∴EG= GN2+EN2= 10 几何图形中的动线问题 【例 3】 (2016· 广东)如图,BD 是正方形 ABCD 的对角线,BC=2,边 BC 在其所在 的直线上*移,将通过*移得到的线段记为 PQ,连接 PA,QD,并过点 Q 作 QO⊥BD,垂 足为 O,连接 OA,OP. (1)请直接写出线段 BC 在*移过程中,四边形 APQD 是什么四边形? (2)请判断 OA,OP 之间的数量关系和位置关系,并加以证明; (3)在*移变换过程中,设 y=S△OPB,BP=x(0≤x≤2),求 y 与 x 之间的函数关系式, 并求出 y 的最大值. 分析:(2)证△AOB≌△POQ,可得 AO 与 OP 的数量与位置关系;(3)



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