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中考数学二轮复*专题二解答重难点题型突破题型六二次函数与几何图形综合题课件

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专题二 解答重难点题型突破 题型六 二次函数与几何图形综合题

类型一 二次函数与图形判定【例1】(2017·营口)如图,抛物线y=ax2+ bx-2的对称轴是直线x=1,与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点A的 坐标为(-2,0),点P为抛物线上的一个动点,过点P作PD⊥x轴于点D,交 直线BC于点E. (1)求抛物线解析式; (2)若点P在第一象限内,当OD=4PE时,求四边形POBE的面积;

(3)在(2)的条件下,若点M为直线BC上一点,点N为*面直角坐标系内一 点,是否存在这样的点M和点N,使得以点B,D,M,N为顶点的四边形是 菱形?若存在,直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
解:(1)∵抛物线 y=ax2+bx-2 的对称轴是直线 x=1,A(-2,0)在抛物 线上,
∴?????-(-2ba=2)12a-2b-2=0,解得:?????ab==14-21,
抛物线的解析式为 y=14x2-12x-2;

(2)令 y=14x2-12x-2=0,解得:x1=-2,x2=4,当 x=0 时,y=-2,∴B(4,0),C(0,
-2),设 BC 的解析式为 y=kx+c,则?????4c=k+-c=2 0,解得:?????kc==12-2,∴直线 BC 的解析式为 y
=12x-2,设 D(m,0),∵DP∥y 轴,∴E(m,12m-2),P(m,14m2-12m-2), ∵OD=4PE,∴m=4(14m2-12m-2-12m+2), ∴m=5 或 m=0(舍去),∴D(5,0),P(5,74),E(5,12), ∴S 四边形 POBE=S△OPD-S△EBD=12×5×74-12×1×12=383;

(3)存在,设 M(n,21n-2),①以 BD 为对角线,如解图①, ∵四边形 BNDM 是菱形,∴MN 垂直*分 BD,∴n=4+2 5,∴M(29,41), ∵M,N 关于 x 轴对称,∴N(92,-41);

②以 BD 为边,如解图②, ∵四边形 BNMD 是菱形,∴MN∥BD,MN=BD=MD=1, 过 M 作 MH⊥x 轴于 H,∴MH2+DH2=DM2, 即(12n-2)2+(n-5)2=12,∴n1=4(不合题意),n2=258,∴N(253,45),
同理(21n-2)2+(4-n)2=1,∴n1=4+25 5(不合题意,舍去),n2=4-25 5,
∴N(5-255,- 55),

③以 BD 为边,如解图③,过 M 作 MH⊥x 轴于 H, ∴MH2+BH2=BM2,
即(12n-2)2+(n-4)2=12, ∴n1=4+2 5 5,n2=4-2 4 5(不合题意,舍去),∴N(5+2 5 5, 55), 综上所述,当 N(92,-14)或(253,45)或(5-2 5 5,- 55)或(5+2 5 5, 55)时,以点 B,D,M, N 为顶点的四边形是菱形.

【例 2】(2013·河南)如图,抛物线 y=-x2+bx+c 与直线 y=21x+2 交于 C、 D 两点,其中点 C 在 y 轴上,点 D 的坐标为(3,72).点 P 是 y 轴右侧的抛物线 上一动点,过点 P 作 PE⊥x 轴于点 E,交 CD 于点 F.

(1)求抛物线的解析式; (2)若点P的横坐标为m,当m为何值时,以O、C、P、F为顶点的四边形 是*行四边形?请说明理由. (3)若存在点P,使∠PCF=45°,请直接写出相应的点P的坐标.

解:(1)在直线解析式 y=21x+2 中,令 x=0,得 y=2,∴C(0,2).
∵点 C(0,2)、D(3,27)在抛物线 y=-x2+bx+c 上,
∴?????c-=92+3b+c=72,解得 b=27,c=2,
∴抛物线的解析式为:y=-x2+72x+2;

(2)设 P 点坐标为(m,-m2+72m+2),F(m,12m+2) ∵PF∥CO,四边形为*行四边形,∴PF=CO, ∴yP-yF=±(yc-yo), ∴-m2+3m=2 或-2, ∴m=1 或 2 或3+2 17或3-2 17(舍),
∴当 m=1 或 2 或3+2 17时,以 O、C、P、F 为顶点的四边形是* 行四边形.

(3) 存在. 理由:设点 P 的横坐标为 m,则 P(m,-m2+27m+2), F(m,12m+2).

如解图,过点 C 作 CM⊥PE 于点 M,则 CM=m,EM=2,

∴FM=yF-yM=12m, ∴tan∠CFM=2.



Rt△CFM

中,由勾股定理得:CF=

5 2 m.

过点 P 作 PN⊥CD 于点 N,

则 PN=FN·tan∠PFN=FN·tan∠CFM=2FN.

∵∠PCF=45°,∴PN=CN,

而 PN=2FN,∴FN=CF= 25m,PN=2FN= 5m, 在 Rt△PFN 中,由勾股定理得:PF= FN2+PN2=52m. ∵PF=yP-yF=(-m2+72m+2)-(12m+2)=-m2+3m,∴-m2+3m=52m, 整理得:m2-12m=0,解得 m=0(舍去)或 m=12,∴P(12,72); 同理求得,另一点为 P(263,1138). ∴符合条件的点 P 的坐标为(12,72)或(263,1138).

【对应训练】 1.(2017·新乡模拟)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为 Q(2,-1),且与y轴交于点C(0,3),与x轴交于A,B两点(点A在点B的右 侧),点P是该抛物线上的一动点,从点C沿抛物线向点A运动(点P与A不重 合),过点P作PD∥y轴,交AC于点D. (1)求该抛物线的解析式; (2)当△ADP是直角三角形时,求点P的坐标;

(3)在题(2)的结论下,若点E在x轴上,点F在抛物线上,问是否存在以A、 P、E、F为顶点的*行四边形?若存在,求点F的坐标;若不存在,请说明 理由.1.解:(1)∵抛物线的顶点为Q(2,-1),∴设抛物线的解析式为
y=a(x-2)2-1, 将C(0,3)代入上式,得:3=a(0-2)2-1,a=1; ∴y=(x-2)2-1,即y=x2-4x+3; (2)分两种情况: ①当点P1为直角顶点时,点P1与点B重合; 令y=0,得x2-4x+3=0,解得x1=1,x2=3; ∵点A在点B的右边,∴B(1,0),A(3,0);∴P1(1,0);

②当点 A 为△AP2D2 的直角顶点时;

∵OA=OC,∠AOC=90°,∴∠OAD2=45°;

当∠D2AP2=90°时,∠OAP2=45°,∴AO *分∠D2AP2;

又∵P2D2∥y 轴,∴P2D2⊥AO,∴P2、D2 关于 x 轴对称;

设直线 AC 的函数关系式为 y=kx+b(k≠0).

?3k+b=0

?k=-1

将 A(3,0),C(0,3)代入上式得:??b=3 ,解得??b=3 ;∴y=-x+3;

设D2(x,-x+3),P2(x,x2-4x+3),则有:(-x+3)+(x2-4x+3)=0, 即x2-5x+6=0;
解得x1=2,x2=3(舍去); ∴当x=2时,y=x2-4x+3=22-4×2+3=-1; ∴P2的坐标为P2(2,-1)(即为抛物线顶点). ∴P点坐标为P1(1,0),P2(2,-1);

(3)由(2)知,当 P 点的坐标为 P1(1,0)时,不能构成*行四边形; 当点 P 的坐标为 P2(2,-1)(即顶点 Q)时, *移直线 AP 交 x 轴于点 E,交抛物线于 F; ∵P(2,-1),∴可设 F(x,1);∴x2-4x+3=1, 解得 x1=2- 2,x2=2+ 2; ∴符合条件的 F 点有两个,即 F1(2- 2,1),F2(2+ 2,1).

类型二 二次函数与图形面积(2012.23(2)) 【例 3】(2017·深圳)如图,抛物线 y=ax2+bx+2 经过点 A(-1, 0),B(4,0),交 y 轴于点 C; (1)求抛物线的解析式(用一般式表示); (2)点 D 为 y 轴右侧抛物线上一点,是否存在点 D 使 S△ABC=23S △ABD?若存在请直接给出点 D 坐标;若不存在请说明理由; (3)将直线 BC 绕点 B 顺时针旋转 45°,与抛物线交于另一点 E, 求 BE 的长.

解:(1)∵抛物线 y=ax2+bx+2 经过点 A(-1,0),B(4,0),
∴???a1- 6ab++42b= +02=0,解得?????ab= =23-12,
∴抛物线解析式为 y=-12x2+32x+2;

(2)由题意可知 C(0,2),A(-1,0),B(4,0),∴AB=5,OC=2, ∴S△ABC=12AB·OC=12×5×2=5,∵S△ABC=23S△ABD,∴S△ABD=32×5=125,
设 D(x,y),∴12AB·|y|=12×5|y|=125,解得|y|=3,当 y=3 时,由-12x2+32x+2=3,解得 x=1 或 x=2,此时 D 点坐标为(1,3)或(2,3);
当 y=-3 时,由-12x2+32x+2=-3,解得 x=-2(舍去)或 x=5,此时 D 点坐标为(5, -3);综上可知存在满足条件的点 D,其坐标为(1,3)或(2,3)或(5,-3);

(3)∵AO=1,OC=2,OB=4,AB=5,∴AC= 12+22= 5,BC= 22+42=2 5,∴AC2+

BC2=AB2,∴△ABC 为直角三角形,即 BC⊥AC,如解图,设直线 AC 与直线 BE 交于点 F,过 F

作 FM⊥x 轴于点 M,由题意可知∠FBC=45°,∴∠CFB=45°,∴CF=BC=2 5,

∴OAOM=ACCF,即O1M=2

5 ,解得 5

OM=2,FOMC=AACF,即F2M=3

5 ,解得 FM=6,∴F(2,6), 5

且 B(4,0),设直线 BE 解析式为 y=kx+m,则可得?????24kk++mm==60,解得?????km==-123,∴直线 BE 解析式
为 y=-3x+12,联立直线 BE 和抛物线解析式可得?????yy==--312xx+2+1322x+2,解得?????xy==40或?????xy==5-3,∴

E(5,-3),∴BE= (5-4)2+(-3)2= 10.

【对应训练】 1.(2017·甘肃)如图,已知二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于 点B(-2,0),点C(8,0),与y轴交于点A. (1)求二次函数y=ax2+bx+4的表达式; (2)连接AC,AB,若点N在线段BC上运动(不与点B,C重合),过点N 作NM∥AC,交AB于点M,当△AMN面积最大时,求N点的坐标; (3)连接OM,在(2)的结论下,求OM与AC的数量关系.

1.解:(1)将点 B,点 C 的坐标分别代入 y=ax2+bx+4 可得
???46a4-a+2b8b++44==00,解得?????ab==23-14,∴二次函数的表达式为 y=-14x2+32x+4;

(2)设点 N 的坐标为(n,0)(-2<n<8),∵B(-2,0), C(8,0),则 BN=n+2,CN=8-n. ∴BC=10,在 y=-14x2+32x+4 中令 x=0,可解得 y=4,
∴点 A(0,4),OA=4,∴S△ABN=12BN·OA=12(n+2)×4=2(n+2), ∵MN∥AC,∴AAMB =NBCC=81-0n,∴SS△△AAMBNN=AAMB =81-0n, ∴S△AMN=8-10nS△ABN=15(8-n)(n+2)=-15(n-3)2+5, ∵-15<0,∴当 n=3 时,即 N(3,0)时,△AMN 的面积最大;

(3)当 N(3,0)时,N 为 BC 边中点, ∵MN∥AC,∴M 为 AB 边中点,∴OM=21AB, ∵ AB = OA2+OB2 = 16+4= 2 5 , AC = OC2+OA2= 64+16 = 4 5,∴AB=12AC,∴OM=14AC.

类型三 二次函数与线段问题(2015.23,2012.23,2014.23) 【例4】(2015·河南)如图,边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上,以 点C为顶点的抛物线经过点A,点P是抛物线上点A,C间的一个动点(含端点) ,过点P作PF⊥BC于点F,点D、E的坐标分别为(0,6)、(-4,0),连接PD 、PE、DE. (1)请直接写出抛物线的解析式; (2)小明探究点P的位置发现:当P与点A或点C重合时,PD与PF的差为定 值,进而猜想:对于任意一点P,PD与PF的差为定值,请你判断该猜想是 否正确,并说明理由;

(3)小明进一步探究得出结论:若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作 “好点”,则存在多个“好点”,且使△PDE的周长最小的点P也是一个“ 好点”.请直接写出所有“好点”的个数,并求出△PDE周长最小时“好点 ”的坐标.

解:(1)∵边长为 8 的正方形 OABC 的两边在坐标轴上,以点 C 为顶点 的抛物线经过点 A,∴C(0,8),A(-8,0),
设抛物线解析式为:y=ax2+c,则???c6=4a8+c=0,解得?????ac==8-18,
∴抛物线的解析式为:y=-81x2+8;

(2)正确. 理由:设 P(a,-18a2+8),则 F(a,8), ∵D(0,6),∴PD= a2+(18a2-2)2= (18a2+2)2=18a2+2, PF=8-(-18a2+8)=18a2,∴PD-PF=2;

(3)好点共 11 个; 在点 P 运动时,DE 的大小不变,∴PE 与 PD 的和最小时,△PDE 的周长最小, ∵PD-PF=2,∴PD=PF+2,∴PE+PD=PE+PF+2, 当 P,E,F 三点共线时,PE+PF 最小,
此时,点 P,E 的横坐标为-4,将 x=-4 代入 y=-18x2+8,得 y=6, ∴P(-4,6),此时△PDE 周长最小,且△PDE 的面积为 12,点 P 恰好为“好点”, ∴△PDE 周长最小时点 P 的坐标为(-4,6).
△PDE 的面积 S=-14x2-3x+4=-14(x+6)2+13.由于-8≤x≤0,可得 4≤S≤13,所以 S 的整数值 为 10 个,由图象可知,当 S=12 时,对应的“好点”有 2 个,所以“好点”共有 11 个.

【对应训练】 1.(2017·赤峰)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象交x轴于A、B两 点,交y轴于点D,点B的坐标为(3,0),顶点C的坐标为(1,4).

(1)求二次函数的解析式和直线BD的解析式; (2)点P是直线BD上的一个动点,过点P作x轴的垂线,交抛物线于点M,当 点P在第一象限时,求线段PM长度的最大值; (3)在抛物线上是否存在异于B、D的点Q,使△BDQ中BD边上的高为2? 若存在求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

解:(1)∵抛物线的顶点C的坐标为(1,4), ∴可设抛物线解析式为y=a(x-1)2+4, ∵点B(3,0)在该抛物线的图象上,∴0=a(3-1)2+4,解得a=-1, ∴抛物线解析式为y=-(x-1)2+4,即y=-x2+2x+3, ∵点D在y轴上,令x=0可得y=3, ∴D点坐标为(0,3), ∴可设直线BD解析式为y=kx+3, 把B点坐标代入可得3k+3=0,解得k=-1, ∴直线BD解析式为y=-x+3;

(2)设 P 点横坐标为 m(m>0),则 P(m,-m+3),M(m,-m2+2m+3), ∴PM=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m=-(m-32)2+49, ∴当 m=23时,PM 有最大值94;

(3)如解图,过 Q 作 QG∥y 轴交 BD 于点 G,交 x 轴于点 E,作 QH⊥BD 于 H, 设 Q(x,-x2+2x+3),则 G(x,-x+3), ∴QG=|-x2+2x+3-(-x+3)|=|-x2+3x|, ∵△BOD 是等腰直角三角形,∴∠DBO=45°, ∴∠HGQ=∠BGE=45°,
当∴△|-BxD2+Q3中x|=B4D,边上的高为 2 2时,即 QH=HG=2 2,∴QG= 2×2 2=4, 当-x2+3x=4 时,b2-4ac=9-16<0,方程无实数根, 当-x2+3x=-4 时,解得 x=-1 或 x=4, ∴Q(-1,0)或(4,-5), 综上可知存在满足条件的点 Q,其坐标为(-1,0)或(4,-5

2.(2017·苏州)如图,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于 A、B两点 ,与y轴交于点C,OB=OC.点D在函数图象上,CD∥x轴,且CD=2,直线l 是抛物线的对称轴,E是抛物线的顶点.
(1)求b、c的值; (2)如图①,连接BE,线段OC上的点F关于直线l的对称点F′恰好在线段BE 上,求点F的坐标;

(3)如图②,动点P在线段OB上,过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M, 与抛物线交于点N.试问:抛物线上是否存在点Q,使得△PQN与△APM的面 积相等,且线段NQ的长度最小?如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在, 说明理由.

解:(1)∵CD∥x 轴,CD=2,∴抛物线对称轴为 x=1. ∴-b2=1,b=-2. ∵OB=OC,C(0,c), ∴B 点的坐标为(-c,0), ∴0=c2+2c+c,解得 c=-3 或 c=0(舍去),∴c=-3;

(2)设点F的坐标为(0,m). ∵对称轴为直线x=1, ∴点F关于直线l的对称点F′的坐标为(2,m). 由(1)可知抛物线解析式为y=x2-2x-3=(x-1)2-4, ∴E(1,-4), ∵直线BE经过点B(3,0),E(1,-4), ∴利用待定系数法可得直线BE的表达式为y=2x-6. ∵点F在BE上, ∴m=2×2-6=-2,即点F的坐标为(0,-2);

(3)存在点 Q 满足题意. 设点 P 坐标为(n,0),则 PA=n+1,PB=PM=3-n,PN=-n2+2n+3.
作 QR⊥PN,垂足为 R,∵S△PQN=S△APM,∴12(n+1)(3-n)=21(-n2+2n +3)·QR,∴QR=1.

①点 Q 在直线 PN 的左侧时,Q 点的坐标为(n-1,n2-4n),R 点的坐标为(n,n2-4n),N 点的坐标为(n,n2-2n-3).
∴在 Rt△QRN 中,NQ2=1+(2n-3)2,
∴n=32时,NQ 取最小值 1.此时 Q 点的坐标为(12,-145); ②点 Q 在直线 PN 的右侧时,Q 点的坐标为(n+1,n2-4). 同理,NQ2=1+(2n-1)2,
∴n=12时,NQ 取最小值 1.此时 Q 点的坐标为(32,-145).
综上可知存在满足题意的点 Q,其坐标为(12,-145)或(32,-145).

类型四 二次函数与三角形相似(2017.23) 【例 5】(2017·河南)如图,直线 y=-23x+c 与 x 轴交于点 A(3,0), 与 y 轴交于点 B,抛物线 y=-43x2+bx+c 经过点 A,B. (1)求点 B 的坐标和抛物线的解析式;

(2)M(m,0)为 x 轴上一动点,过点 M 且垂直于 x 轴的直线与直线 AB 及抛物线分别交于点 P,N.
①点 M 在线段 OA 上运动,若以 B,P,N 为顶点的三角形与△APM 相似,求点 M 的坐标;
②点 M 在 x 轴上自由运动,若三个点 M,P,N 中恰有一点是其他两 点所连线段的中点(三点重合除外),则称 M,P,N 三点为“共谐点”.请 直接写出使得 M,P,N 三点成为“共谐点”的 m 的值.

(1)∵y=-23x+c 与 x 轴交于点 A(3,0),与 y 轴交于点 B, ∴0=-2+c,解得 c=2,∴B(0,2), ∵抛物线 y=-43x2+bx+c 经过点 A,B,
∴???-c=122+3b+c=0,解得?????cb==2130,
∴抛物线的解析式为 y=-34x2+130x+2;

(2)①由(1)可知直线解析式为 y=-23x+2, ∵M(m,0)为 x 轴上一动点,过点 M 且垂直于 x 轴的直线与直线 AB 及抛物线分别交于点 P,N,∴P(m,-23m+2),N(m,-43m2+130m+2),
∴PM=-23m+2,AM=3-m,PN=-43m2+130m+2-(-32m+2)=-
43m2+4m, ∵△BPN 和△APM 相似,且∠BPN=∠APM, ∴∠BNP=∠AMP=90°或∠NBP=∠AMP=90°, 当∠BNP=90°时,则有 BN⊥MN,∴BN=OM=m,

∴ABMN=PPMN,即3-mm=--34m23m2++42m,解得 m=0(舍去)或 m=2.5,

∴M(2.5,0); 当∠NBP=90°时,则有PPAN=MBPP,

∵A(3,0),B(0,2),P(m,-23m+2),

∴BP= -m),

m2+(-32m+2-2)2= 313m,AP=

(m-3)2+(-23m+2)2=

13 3 (3

∴ -31343(m32+-4mm)=-233m3m+2,解得 m=0(舍去)或 m=181,

∴M(181,0);综上可知当以 B,P,N 为顶点的三角形与△APM 相似时,点 M 的坐标为 (2.5,0)或(181,0);②由①可知 M(m,0),P(m,-23m+2),
N(m,-43m2+130m+2), ∵M,P,N 三点为“共谐点”, ∴P 为线段 MN 的中点或 M 为线段 PN 的中点或 N 为线段 PM 的中点, 当 P 为线段 MN 的中点时,则有 2(-23m+2)=-43m2+130m+2,解得 m=3(三点重合, 舍去)或 m=12;

当 M 为线段 PN 的中点时,则有-23m+2+(-34m2+130m+2)=0,解得 m =3(舍去)或 m=-1;
当 N 为线段 PM 的中点时,则有-23m+2=2(-43m2+130m+2),解得 m =3(舍去)或 m=-41;
综上可知当 M,P,N 三点成为“共谐点”时,m 的值为12或-1 或-14.

【对应训练】
1.(2017·新疆生产建设兵团)如图,抛物线 y=-21x2+32x+2 与 x 轴交于 点 A,B,与 y 轴交于点 C.
(1)求点 A,B,C 的坐标; (2)将△ABC 绕 AB 中点 M 旋转 180°,得到△BAD. ①求点 D 的坐标; ②判断四边形 ADBC 的形状,并说明理由; (3)在该抛物线对称轴上是否存在点 P,使△BMP 与△BAD 相似?若存在, 请直接写出所有满足条件的 P 点的坐标;若不存在,请说明理由.

1.解:(1)当 y=0 时,0=-12x2+32x+2, 解得:x1=-1,x2=4,则 A(-1,0),B(4,0), 当 x=0 时,y=2,故 C(0,2);

(2)①如解图,过点 D 作 DE⊥x 轴于点 E, ∵将△ABC 绕 AB 中点 M 旋转 180°,得到△BAD, ∴DE=2,AO=BE=1,OM=ME=1.5, ∴D(3,-2); ②∵将△ABC 绕 AB 中点 M 旋转 180°,得到△BAD,∴AC=BD,AD=BC, ∴四边形 ADBC 是*行四边形,
∵AC= 12+22= 5,BC= 22+42=2 5,AB=5,
∴AC2+BC2=AB2, ∴△ACB 是直角三角形,∴∠ACB=90°, ∴四边形 ADBC 是矩形;

(3)由题意可得:BD= 5,AD=2 5,则BADD=12,
当△BMP∽△ADB 时,MBMP=BADD=12,∵AB=5,∴BM=2.5, 则 PM=1.25,故 P(1.5,1.25), 当△BMP1∽△ADB 时,P1(1.5,-1.25), 当△BMP2∽△BDA 时,可得:P2(1.5,5), 当△BMP3∽△BDA 时,可得:P3(1.5,-5), 综上所述:点 P 的坐标为:(1.5,1.25),(1.5,-1.25),(1.5,5),(1.5,-5).




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